21 febrero 2006

Cube: encerrados entre números primos

Cube era una curiosa muestra del cine independiente de ciencia-ficción del año 1997, dirigida por Vincenzo Natali. Trataba de un grupo de personas encerradas en un gigantesco cubo dividido a su vez en un montón de habitaciones también cúbicas, algunas seguras y otras llenas de trampas mortales. Para ir pasando de una a otra habitación en este peligroso juego pasapantallas, una de las personas encerradas, una joven matemática, llega a la conclusión de que la clave son los números escritos en cada ventana. Si son primos, significa que la siguiente habitación es segura.

El saber si un número de muchas cifras es primo o no (es decir, si tiene algún divisor aparte del 1 y de sí mismo) es bastante complicado, y le daba sus quebraderos de cabeza a la experta en matemáticas. La única forma de saberlo es probar a dividirlo entre todos los números primos más pequeños que él, lo cual es bastante laborioso .... No obstante, hay una regla muy sencilla: ningún número par puede ser primo, por la simple razón de que par es aquel número divisible por 2. Tampoco los acabados en 5 pueden ser primos, porque siempre son divisibles por 5. Por lo tanto, sólo los números acabados en 1, 3, 7 o 9 pueden ser primos, algo que olvidó el guionista de la película, que ponía a la chica a devanarse los sesos para averiguar si era o no primo algún número acabado en 2 ...

Los matemáticos han pensado mucho en los números primos desde el principio de los tiempos, y lo cierto es que no se ha llegado al respecto a ninguna otra gran conclusión aparte de lo dicho. La distribución entre los que acaban en 1, en 3, en 7 y en 9 es bastante uniforme, y también se sabe que los números primos son infinitos, aunque se van distanciando más unos de otros a medida que nos adentramos en cantidades más y más grandes (entre los números del 1 al 1000 el porcentaje de primos es más alto que del 1.000.001 al 1.001.000). Pero el caso es que no puede haber un último número primo. ¿Por qué? Pues porque si multiplicamos ese hipotético número primo gigante por todos los primos anteriores y le sumamos 1 al número obtenido, nos encontraríamos ante un nuevo número primo. Efectivamente, dicho número nunca daría un resultado exacto al dividirlo por ningún primo, puesto que el resto siempre sería 1....

Pero volviendo a Cube, los números resultaban ser coordenadas que definían la posición de cada habitación dentro del cubo, por lo que los encerrados llegaban a la conclusión de que el cubo giraba y por lo tanto quedándose quietos en una celda llegaría un momento en el que esa celda se convertiría en exterior, permitiéndoles acceder a la salida del cubo ... Curiosa conclusión, porque en un movimiento de rotación (es decir, de giro) las partes interiores del cuerpo que gira siempre siguen siendo interiores, y las partes exteriores siempre son exteriores ... de lo contrario cuando nos diéramos cuenta nos encontraríamos en pleno núcleo de la tierra, puesto que ésta gira sin parar .... Pero no, pasan los años y seguimos en la periferia de la misma. Y esa es una propiedad común a las esferas y a los cubos.

22 comentarios:

josuered dijo...

Hay un error, dices "La distribución entre los que acaban en 1, en 3, en 5 y en 7 es bastante uniforme" y quieres decir "en 1, en 3, en 7 y en 9".

Y en Cube no se sigue un movimiento de rotación puro si no que los cubículos viajan por dentro del cubo, hay escenas en las que un cubo da a otros seis cubos indicando que esta en el interior. Lo que se intenta decir es que todos los cubículos pasan por la posición inicial cero que es la que da a la entrada/salida de Cube.

Otra cosa es hacer creer que una persona metida en una habitación no nota los movimientos que hace esta en las tres direcciones del espacio, sobre todo teniendo en cuenta la velocidad a la que se mueven los cubículos en otras escenas. Eso y algunas trampas imposibles de esconder en el escaso margen entre cubículos son cosas de la mera Ficción.

jalop dijo...

Tienes razón, he corregido esa pequeña pifia :-) Supongo que lo que pretenden explicar en la película es un movimiento de traslación pura de los cubitos, sin rotación (aunque si no recuerdo mal en la película hablan de que el cubo "gira", confunden la traslación con la rotación). El movimiento del cubo podría no notarse si tiene una velocidad constante, sin frenazos ni acelerones ni cambios de dirección (inevitables cuando una casilla pasa de un plano a otro del cubo). Solo somos capaces de percibir movimientos relativos, pero si nos movemos a la misma velocidad del recinto en el que estamos, por alta que sea, no podemos notar el movimiento (cuando viajamos en coche o en tren, solo notamos que nos movemos cuando aceleramos o frenamos, porque entonces notamos la actuación de las fuerzas inerciales). Saludos

La navaja en el ojo dijo...

Probablemente el guionista se documentó bien y sabía que un número acabado en dos no es primo (lo sabe hasta el más primo), pero puede deberse a un error de montaje. A lo mejor el montador ni se dio cuenta porque ni lo leyó, se fijó en otros detalles del plano (ráccord, movimientos, encuadre, etc...) e incluso el propio director pudo decidir junto con el montador sacrificar la matemática por el bien del resultado de la película, si no tenían otro plano que casara en ese momento. En un filme como éste, en el que hay poquísimas posibilidades de encuadres y movimientos de cámara y no digamos, variedades de decorado, me imagino que el material que llegaría a la sala de montaje sería todo prácticamente igual. Seguramente se armaron un poco de follón a la hora de ordenarlo y ensamblarlo. Bastante mérito tiene lograr un largometraje con esas limitaciones.

La navaja en el ojo dijo...

Evidentemente, los cubos interiores (o celdas), por sí mismos, no podrían rotar, salvo que rotara el cubo grande entero. Para poder rotar tendrían que ser cilindros y así sólo podrían rotar en un sentido (horizontal o verticalmente). Si un cubo rotara, daría golpes a los de su alrededor. Como ya habéis dicho, lo más probable es que hablaran de traslación y confundieran la palabra “girar”. Lo que hacían los cubos era ir de un lado a otro y de arriba abajo, como en los puzzlecitos de plástico que teníamos de pequeños, pero en 3D.

La navaja en el ojo dijo...

No me malinterpretes, no quería decir que me pareciera mal que lo comentaras. Al contrario, intentaba buscar la razón de que cometieran un error tan gordo, que haces bien en señalar porque es grave. La cosa sería saber si fue simplemente un despiste o si lo hicieron aposta sacrificando la corrección por que quedara bien la película. Y, de ser el segundo caso, cabría preguntarse qué vale más la pena. Sería un interesante debate.

Vicisitud y Sordidez dijo...

Aluciné con lo del número 2 en el cine. A falta de revisar "Cube" creo que sí había algún plano detalle de números primos, así que mejor hubiese sido repetirlo (con ese ritmo de montaje el espectador tampoco lo iba a notar mucho) que cometer una tan gorda. Pero... ¿Y si lo hicieron aposta para que, entre frikis como nosotros, corriesen ríos de tinta? Se me ocurren, a bote pronto, 20 formas de lo más estético de no haber cometido ese error en montaje. Creo, sinceramente, que lo hicieron aposta y, a pesar de todo, salí del cine exultante, recordando ese número primo par como un chiste brillante (ayvá, rima).

Marsupilami dijo...

Te cito:

"...aunque se van distanciando más unos de otros a medida que nos adentramos en cantidades más y más grandes..."

Esta frase es falsa. Hay pares primos P y P+2 repartidos por todo el espacio de números enteros.

Por ejemplo 3 y 5, 11 y 13, 39 y 41, pero también 1021 y 1023... y sorprendentemente también con números de seis cifras.

Incluso hay una hipótesis que postula la necesidad de existencia de tales parejas de primos, y precisamente en esa hipótesis se basan algunos resultados de criptografía... pero esto ya es harina de otro costal...

Marsupilami dijo...

Perdón. Obviamente 39 no es primo.

jalop dijo...

La frase no es falsa, simplemente la estás interpretando mal. No quiero decir que no pueda haber números primos grandes que estén a poca distancia, sino que la densidad de números primos se va reduciendo a medida que vamos tomando números más grandes. Como dice en la entrada, hay muchos más primos entre el 1 y el 1000, que entre el 100001 y el 101000, lo cual no tiene que ver con que se dé o no se dé algún caso concreto de números primos muy próximos entre sí situados entre 100001 y 101000.

Por cierto, 1023 tampoco es primo, es fácil ver que sus cifras suman 6, y que por lo tanto es divisible por 3. Saludos.

geofreak dijo...

Estoy de acuerdo con la interpretación del movimiento del cubo que hace josuered, los cubos se desplazan por todas las posibles posiciones del cubo pero sin rotar. La idea es la misma --pero en version 3_D-- que la de unos juegos muy simples en los que hay un rectangulo formado por fichas cuadradas (normalmente con el abecedario) que llenan todo el rectangulo menos un cuadradito, que esta libre y es el que deja hueco para que los otros se vayan desplazando.

Anónimo dijo...

Hola estaba curioseando tu blog y no entiendo esta frase:"si multiplicamos ese hipotético número primo gigante por todos los primos anteriores y le sumamos 1 al número obtenido, nos encontraríamos ante un nuevo número primo"
Por ejemplo: 5*3*1=15+1=16

jalop dijo...

Te olvidas del 2, que también es primo. 5*3*2*1= 30 30+1=31, que es primo. Al sumarle 1 a un número que sea el producto de todos los números primos menores que él, siempre vamos a obtener un número primo, porque al dividir, en este caso, 31 entre cualquier primo nunca va a dar exacto, el resto siempre va a ser 1. Saludos

Alejandra dijo...

para saber si un número es primo o no es muy sencillo: si termina en par es multiplo de 2; si termina en 0 o en 5 es multiplo de 5; si la suma de sus digitos es divisible por 3 (por ejemplo 126, 1+2+6=9, 9/3=3) quiere decir que es multiplo de 3; el problema realmente es saber si es divisible por 7, pero si se trata de numeros de 3 sifras no es una division tan complicada (como en la pelicula). Aunque si sería algo interesante el haber visto a los personajes en el dilema de si es primo o no el 2.

El diablo le gano a simon flag dijo...

en la pelicula cube2:hypercube, abla de un hipercubo, o sea un cubo n-dimencional.
Y los numeros primos, como usted bien dijo, son infinitos gracias a que:
P(1)*P(2)*...*P(x)+1=P(y) y
P(1)*P(2)*...*P(x)-1=P(z)

jalop dijo...

No vi Hypercube, supongo que sería curioso ese cubo de n dimensiones. Efectivamente, el producto de n números primos consecutivos + 1 va a dar siempre un número primo, y ese mismo producto - 1 va a dar otro primo también. Saludos

Anónimo dijo...

despues de leer este blog, no tengo ganas de ver a ningun primo de mi familia porque no entendi nada, ni sabia que los numeros tenian primos...bueno a la finales ojala todo quede en familia. GRACIAS ( JEJEEEE )

Anónimo dijo...

No es como dicen arriba porque todavía no existe demostración de que haya infinitas parejas de primos gemelos, de hecho parece por convergencia de la función
(1/3+1/5)+(1/7+1/11)+...+(1/Pn/Pn+2) que hay una constante, se llama la constante de Brun, y en que el producto de n primos consecutivos más o menos uno da siempre un primo; 2*3*5*7-1=209=19*11, lo que dice la demostración de Euclides es que si hubiera un número primo último, el producto de todos los primos hasta él más uno daría un número primo mayor o un número compuesto que no tiene divisores de p1*p2*...pn+1, de donde se deduce que debe existir un divisor mayor que uno de esos primos y como es compuesto debe ser un primo mayor.

Anónimo dijo...

Siento tener que corregiros -en la línea del comentario anterior. El producto de los n primeros primos + 1 NO siempre es primo (ejemplo: 2*3*5*7*11*13+1 = 30.031 = 59*509 es el primero que no lo cumple). Esta sería una manera muy sencilla de encontrar números primos enormes, y no es tan fácil...

Dillinger is dead dijo...

Tienes razón, es primo el producto de todos los primos menores que él +1, no de cualesquiera números primos consecutivos + 1, ahí me lié yo. Es decir, que no se invalida el teorema de que el producto de todos los números primos existentes + 1 volvería a dar un número primo. Gracias por puntualizar eso; un saludo.

Anónimo dijo...

Solamente quiero decir que la pendeja que sabia de matematicas no buscaba numeros primos es decir no buscaba saber si 12 era numero primo o no...lo que ella necesitaba saber era que si el numero en cuestion factoreado contenia o no numeros primos..mejor mira la pelicula despues hablamos..

Anónimo dijo...

Recomiendo :

http://misterionumerosprimos.blogspot.com

Se van a sorprender!!!!

Invitado de Honor dijo...

Perdonadme, no puedo evitar aclarar algunas cosas sobre la película:

-Hay en cada celda 3 números de 3 cifras cada uno. La suma de cada trío de cifras nos da una coordenada. Así tenemos las coordenadas tridimensionales de la celda (en su posición inicial).

-Cada celda tiene aparte de la inicial otras dos posiciones (efectivamente cada celda se mueve por separado, no es que el cubo grande rote) que alcanzará en algún momento antes de volver a su posición inicial.

-No es que cualquier celda al final te lleve a la salida, sino que si logras acceder a la única (en la tercera parte dan a entender que existía otra salida más y además una de emergencia) celda con alguna de sus coordenadas igual a 27, sólo tienes que esperar a que en una de sus tres posiciones linde con la salida del cubo.

-Lo que ocurre es que Leaven, la matemática, empieza justo en esa celda.

-Las celdas con trampa resultan ser aquellas en las que alguno de los 3 números es potencia de un primo (tiene un sólo divisor primo). Leaven creía inicialmente que eran las que tenían alguno de los 3 números primos (un subconjunto de las anteriores), hasta que ve que la 128 517 565 tiene trampa. Sin ser 517 (47x11) ni 565 (5x113) primos. Y entiende que es porque 128 = 2 elevado a 7. Es decir, no es primo pero sí potencia de un primo.